সত্যক সারণি অনুযায়ী-

(i) CS = C 

(ii) C + S = S

(iii) $\overline{C} \oplus \overline{S} = \overline{C \oplus S}$

নিচের কোনটি সঠিক

ব্যাখ্যাঃ

প্রদত্ত সত্যক সারণিটি বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়:

    
• ইনপুট A এবং B এর জন্য, আউটপুট C হলো A এবং B এর AND অপারেশন (C = A.B)।
    
• ইনপুট A এবং B এর জন্য, আউটপুট S হলো A এবং B এর OR অপারেশন (S = A+B)।

এখন, প্রদত্ত বিবৃতিগুলো যাচাই করা যাক:

(i) CS = C

এখানে CS বলতে C এবং S এর AND অপারেশন বোঝানো হয়েছে, অর্থাৎ \(C \cdot S\)।

আমরা জানি, \(C = A \cdot B\) এবং \(S = A+B\)।

তাহলে, \(C \cdot S = (A \cdot B) \cdot (A+B)\)।

বুলিয়ান অ্যালজেব্রার শোষণ উপপাদ্য (Absorption Law) অনুযায়ী, \(X \cdot (X+Y) = X\)।

এখানে \(X = A \cdot B\) এবং \(Y\) হলো \(A\) বা \(B\)।

সুতরাং, \( (A \cdot B) \cdot (A+B) = A \cdot B \)।

যেহেতু \(C = A \cdot B\), তাই \(C \cdot S = C\) বিবৃতিটি সঠিক।

(ii) C + S = S

এখানে C + S বলতে C এবং S এর OR অপারেশন বোঝানো হয়েছে, অর্থাৎ \(C+S\)।

আমরা জানি, \(C = A \cdot B\) এবং \(S = A+B\)।

তাহলে, \(C+S = (A \cdot B) + (A+B)\)।

বুলিয়ান অ্যালজেব্রার একটি ধর্ম অনুযায়ী, যদি \(X\) এবং \(Y\) দুটি চলক হয়, তবে \( (X \cdot Y) + (X+Y) = X+Y \)। কারণ, \(X \cdot Y\) এর মান সবসময় \(X+Y\) এর মানের অন্তর্ভুক্ত।

যেমন, \(X\) এর সাথে \(X+Y\) এর OR করলে \(X+Y\) ই থাকে। অর্থাৎ, \(X + (X+Y) = X+Y\)।

এখানে \(C = A \cdot B\) এবং \(S = A+B\)। আমরা জানি, \(C\) এর মান \(S\) এর মানের চেয়ে কম বা সমান। অর্থাৎ, যদি \(C\) সত্য হয়, \(S\) ও সত্য হবে।

সুতরাং, \(C+S = (A \cdot B) + (A+B) = A+B\)।

যেহেতু \(S = A+B\), তাই \(C+S = S\) বিবৃতিটি সঠিক।

(iii) \( \overline{C} \oplus \overline{S} = \overline{C \oplus S} \)

এই বিবৃতিটি XOR এবং NOT অপারেশনের উপর ভিত্তি করে।

আমরা জানি, XOR অপারেশন \(X \oplus Y = \overline{X}Y + X\overline{Y}\)।

বামপক্ষ: \( \overline{C} \oplus \overline{S} = \overline{(\overline{C})}\overline{S} + \overline{C}\overline{(\overline{S})} = C\overline{S} + \overline{C}S \)।

এটি \(C \oplus S\) এর সমতুল্য। সুতরাং, বামপক্ষ \(C \oplus S\)।

ডানপক্ষ: \( \overline{C \oplus S} \)।

তাহলে, প্রদত্ত বিবৃতিটি দাঁড়ায়: \( C \oplus S = \overline{C \oplus S} \)।

এটি শুধুমাত্র তখনই সম্ভব যখন \( C \oplus S \) এর মান একই সাথে 0 এবং 1 হয়, যা অসম্ভব। একটি লজিক গেটের আউটপুট একই সময়ে তার বিপরীত আউটপুটের সমান হতে পারে না।

সত্যক সারণি ব্যবহার করে যাচাই করা যাক:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

C	S	\( \overline{C} \)	\( \overline{S} \)	\( \overline{C} \oplus \overline{S} \)	\( C \oplus S \)	\( \overline{C \oplus S} \)
0	0	1	1	\( 1 \oplus 1 = 0 \)	\( 0 \oplus 0 = 0 \)	\( \overline{0} = 1 \)
0	1	1	0	\( 1 \oplus 0 = 1 \)	\( 0 \oplus 1 = 1 \)	\( \overline{1} = 0 \)
1	0	0	1	\( 0 \oplus 1 = 1 \)	\( 1 \oplus 0 = 1 \)	\( \overline{1} = 0 \)
1	1	0	0	\( 0 \oplus 0 = 0 \)	\( 1 \oplus 1 = 0 \)	\( \overline{0} = 1 \)

সারণি থেকে দেখা যাচ্ছে, \( \overline{C} \oplus \overline{S} \) এবং \( \overline{C \oplus S} \) এর মান সবসময় সমান নয়। উদাহরণস্বরূপ, প্রথম সারিতে \( 0 \ne 1 \) এবং দ্বিতীয় সারিতে \( 1 \ne 0 \)।

সুতরাং, বিবৃতি (iii) সঠিক নয়।

উপরোক্ত বিশ্লেষণ অনুযায়ী, শুধুমাত্র (i) এবং (ii) বিবৃতি দুটি সঠিক।